...и условия высших порядков!
Вариационное исчисление и оптимальное управление
3й курс специалитетета ФКИ, вторник, 18:00-19:30, подключаемся здесь
Занятия
материалы - по ссылкам
Занятие 1 -- вводное

Разбирали, что есть вариация, чем слабый минимум отличается от сильного, рассмотрели простейшую задачу вариационного исчисления и получили уравнения Эйлера.

Определили вариацию функционала, поняли, как получается общая форма необходимого условия локального слабого экстремума, доказали основную лемму ВИ и даже обобщили уравнение Эйлера на случай вектор-функции x(t).


Обобщили уравнение Эйлера на случай функционала, зависящего от производных высших порядков (уравнение Эйлера-Пуассона) и привели пример задачи, в которой уравнение Эйлера – не система ОДУ, а настоящее УЧП

Для будущего исследования динамических систем ввели каноническую форму уравнений Эйлера + рассмотрели задачи с ограничениями. Ограничениями были уравнения, не включающие производные, с их помощью мы выписали функцию Лагранжа задачи. Ну и, наконец, привели пример того, как вариационные принципы применяются в моделировании, а именно получили 2й закон Ньютона как следствие системы необходимых условий и узнали, что $H=T+U,$ если минимизируем $\int_{t_0}^{t_1}\left(T-U\right)$ :). Вам это необходимо (c)

Получаем систему уравнений Эйлера для задачи с неголономными связями, а потом рассматриваем простейшую управляемую систему и выписываем для неё расшифровку необходимых условий. И, понимая, что нужно обрабатывать условия на концах отрезка времени, рассматриваем задачу с подвижными границами, для которой получаем «условия трансверсальности»

Добиваем белые пятна: 1) Говорим о задачах Лагранжа, Майера, Больца 2) Говорим об экстремалях с угловыми точками и получаем условия Вейерштрасса-Эрдмана 3) Говорим об односторонних вариациях и ВНЕЗАПНО получаем некоторое условие 2го порядка, причем условие, которое включает вторую производную по скорости, которая в простом движении… правильно, управление

Начинаем работать с условиями 2го порядка слабого экстремума, необходимыми и достаточными. Рассматриваем условие Лежандра, усиленное условие Лежандра (и матричное дифференциальное уравнение Риккати), сопряжённые точки (и уравнение Якоби). И смотрим на аж два варианта no-gap optimality conditions, во втором из которых no-gap в смысле включения или не включения правого конца отрезка в множество для поиска сопряжённых точек.

Сначала рассматриваем сильный локальный экстремум на примере кусочно-непрерывно дифференцируемых функций. Строим семейства траекторий, получаем условие теоремы Вейерштрасса-Эрдмана и используем их для работы с условием второго порядка. Заодно находим аналог условия оптимальности «хвоста» процесса из метода динамического программирования. Итого нам теперь нужно получить достаточное условие второго порядка в смысле отсутствия сопряженных точек.

Завершаем доказательства критерия слабого локального экстремума 2го порядка. Переходим к необходимым условиям сильного экстремума, рассматриваем простейшую игольчатую вариацию, выписываем функцию Вейерштрасса и получаем необходимое условие сильного локального экстремума в терминах функции Вейерштрасса.

Занятие 10
В процессе